Задача 1: Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая DA, перпендикулярная плоскости треугольника ABC, где M – середина стороны BC. Докажите, что прямые BC и MD перпендикулярны.

Решение:

1. **По условию:** DA перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, DA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, DA перпендикулярна BC.

2. **Так как ABC - равносторонний треугольник, то AM - медиана, высота и биссектриса.** Следовательно, AM перпендикулярна BC.

3. **Рассмотрим прямую BC:** Она перпендикулярна DA (по пункту 1) и перпендикулярна AM (по пункту 2). Следовательно, BC перпендикулярна плоскости DAM, так как DA и AM пересекаются и лежат в этой плоскости.

4. **MD лежит в плоскости DAM**, поэтому, так как BC перпендикулярна плоскости DAM, она перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, BC перпендикулярна MD.

**Вывод:** Прямые BC и MD перпендикулярны. (Что и требовалось доказать).