Задача 1. Дан тетраэдр MABC, каждое ребро которого равно 6 см. D∈MB, E∈MC, F∈AB, AF=FB, P∈MA. 1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) MAB и MFC; б) MCF и ABC. 2. Найдите длину отрезка CF и площадь треугольника ABC. 3. а) Объясните, как построить точку пересечения прямой DE с плоскостью ABC. б) Постройте точку пересечения прямой PD с плоскостью ABC.

1а) Плоскости MAB и MFC имеют общие точки M и F. Поэтому их линия пересечения — прямая MF.

1б) Точки C и F принадлежат обеим плоскостям MCF и ABC. Поэтому их линия пересечения — прямая CF.

2. Треугольник ABC равносторонний со стороной 6 см, а F — середина AB. Поэтому CF является медианой и высотой:

\(CF=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3\) см.

Площадь равностороннего треугольника:

\(S_{ABC}=\frac{6\cdot 3\sqrt3}{2}=9\sqrt3\) см².

3а) Прямая DE лежит в плоскости MBC. Плоскости MBC и ABC пересекаются по прямой BC. Поэтому нужно продолжить DE до пересечения с BC. Полученная точка \(X=DE\cap BC\) и есть точка пересечения прямой DE с плоскостью ABC.

3б) Прямая PD лежит в плоскости MAB. Плоскости MAB и ABC пересекаются по прямой AB. Поэтому нужно продолжить PD до пересечения с AB. Полученная точка \(Y=PD\cap AB\) и есть точка пересечения прямой PD с плоскостью ABC.

Ответ: 1а) MF; 1б) CF; 2) \(CF=3\sqrt3\) см, \(S_{ABC}=9\sqrt3\) см²; 3а) точка \(X=DE\cap BC\); 3б) точка \(Y=PD\cap AB\).