Задача № 1. Даны точки A (−2; −3) и B (−3; 4), C (4; 5). 1) Докажите, что в треугольнике ABC углы A и C равны. 2) Найдите площадь треугольника ABC.

1) Докажем, что углы A и C равны.

Найдём длины сторон AB и BC по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(-3+2)^2+(4+3)^2}=\sqrt{50}\).

\(BC=\sqrt{(4+3)^2+(5-4)^2}=\sqrt{50}\).

Значит, \(AB=BC\), поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Углы при основании равны: \(\angle A=\angle C\).

2) Найдём площадь.

Векторы \(\overrightarrow{AB}=(-1;7)\) и \(\overrightarrow{AC}=(6;8)\). Площадь треугольника равна половине модуля их определителя:

\(S_{ABC}=\frac12|(-1)\cdot 8-7\cdot 6|=\frac12\cdot 50=25\).

Ответ: \(\angle A=\angle C\); площадь треугольника ABC равна 25 квадратным единицам.