Задача 1. Докажите, что длина любой стороны четырёхугольника меньше суммы длин трёх остальных его сторон.

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD и проведём диагональ AC.

1. В треугольнике ABC по неравенству треугольника: \(AB<AC+CB\).
2. В треугольнике ADC: \(AC<AD+DC\).
3. Следовательно, \(AB<AC+CB<AD+DC+CB\).
4. Значит, \(AB<AD+DC+CB\).

Аналогично, проводя подходящие диагонали, получаем:

\(BC<AB+AD+DC\), \(CD<AB+BC+AD\), \(DA<AB+BC+CD\).

Ответ: длина каждой стороны четырёхугольника меньше суммы длин трёх остальных сторон.