Задача 1: Хорда AB равна 9 см. Угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Задание 1. Радиус окружности

Дано:

• Хорда \( AB = 9 \) см.
• Угол \( OAB = 60^\circ \).
• \( O \) — центр окружности.

Найти: радиус окружности \( R \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). \( OA \) и \( OB \) — это радиусы окружности, поэтому \( OA = OB = R \).
2. Так как \( OA = OB \), то \( \triangle OAB \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = 60^\circ \).
3. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Найдем угол \( \angle AOB \): \( \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
4. Так как все углы в \( \triangle OAB \) равны \( 60^\circ \), то этот треугольник равносторонний.
5. Следовательно, все его стороны равны: \( OA = OB = AB \).
6. Поскольку \( AB = 9 \) см, то и радиус \( R = 9 \) см.

Ответ: 9 см.