Задача 1. Из хорошей рогатки, расположенной у подножия горы, в направлении её вершины производится выстрел камнем под углом α = 60° к горизонту. Начальная скорость камня равна v₀ = 50 м/с. Гора имеет плоский склон, наклонённый к горизонту под углом β = 45°. Ускорение свободного падения равно 10 м/с². Сопротивлением воздуха можно пренебречь. 1) Найдите максимальную высоту подъёма камня над точкой, из которой был сделан выстрел. Ответ выразите в м, округлите до целого числа. 2) Определите время τ полёта камня до его падения на склон горы. Ответ выразите в с, округлите до десятых.

1) Вертикальная составляющая начальной скорости равна \(v_{0y}=v_0\sin 60^\circ\). В наивысшей точке вертикальная скорость становится равной нулю, поэтому максимальная высота:

\[h_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{(50\sin 60^\circ)^2}{2\cdot10}=93.75\text{ м}.\]

Округляя до целого, получаем 94 м.

2) Выберем начало координат в точке выстрела, ось \(x\) направим горизонтально к горе, а ось \(y\) — вверх. Уравнения движения камня: \(x=v_0\cos60^\circ\,t\), \(y=v_0\sin60^\circ\,t-\frac{gt^2}{2}\). Склон описывается уравнением \(y=x\tan45^\circ\).

В момент падения координаты камня удовлетворяют уравнению склона. Для ненулевого времени полёта:

\[v_0\sin60^\circ\,\tau-\frac{g\tau^2}{2}=v_0\cos60^\circ\,\tau\tan45^\circ,\]

\[\tau=\frac{2v_0(\sin60^\circ-\cos60^\circ\tan45^\circ)}{g}\approx7.66\text{ с}.\]

Округляя до десятых, получаем 7,7 с.

Ответ: 1) 94 м; 2) 7,7 с.