Задача 1. Контролер из партии 1000 деталей производит безвозвратную выборку 50 из них. Найти вероятность того, что в выборке не окажется дефектных деталей если во всей партии их 4.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по теории вероятностей. Она кажется сложной, но на самом деле решается довольно просто, если понять основной принцип.

Что нам дано?

• Общее количество деталей в партии: 1000 шт.


• Количество дефектных деталей в партии: 4 шт.


• Количество деталей, взятых в выборку: 50 шт.

Что нужно найти?

• Вероятность того, что в выборке из 50 деталей НЕ окажется ни одной дефектной.

Логика решения:

Чтобы в выборке не оказалось дефектных деталей, нам нужно, чтобы все 50 выбранных деталей были исправными. Давай посчитаем, сколько всего исправных деталей в партии.

Количество исправных деталей = Общее количество деталей - Количество дефектных деталей

Исправных деталей = 1000 - 4 = 996 шт.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что мы выберем 50 деталей только из этих 996 исправных. Это задача на комбинаторику, а точнее, на гипергеометрическое распределение. Но мы можем подойти к ней проще, рассчитав вероятность каждого последовательного выбора.

Расчет вероятности:

Вероятность того, что первая выбранная деталь будет исправной:

$$ P(1\text{-я исправная}) = \frac{\text{Количество исправных деталей}}{\text{Общее количество деталей}} = \frac{996}{1000} $$

Вероятность того, что вторая выбранная деталь тоже будет исправной (при условии, что первая была исправной):

$$ P(2\text{-я исправная} | 1\text{-я исправная}) = \frac{995}{999} $$

И так далее, для всех 50 деталей. Вероятность того, что все 50 деталей будут исправными, равна произведению вероятностей каждого шага:

$$ P(\text{все 50 исправные}) = \frac{996}{1000} \times \frac{995}{999} \times \frac{994}{998} \times \dots \times \frac{996 - 50 + 1}{1000 - 50 + 1} = \frac{996}{1000} \times \frac{995}{999} \times \dots \times \frac{947}{951} $$

Это можно записать с помощью формулы для гипергеометрического распределения, но для простоты понимания, давайте запишем общий вид:

$$ P(\text{нет дефектных в выборке}) = \frac{\text{Число способов выбрать 50 исправных деталей из 996}}{\text{Число способов выбрать 50 деталей из 1000}} $$

$$ P = \frac{C_{996}^{50}}{C_{1000}^{50}} $$

Где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ — число сочетаний.

Расчет этого значения вручную довольно трудоемкий. Если использовать калькулятор или статистическое ПО, результат будет примерно:

$$ P \approx 0.816 $$

Ответ:

Вероятность того, что в выборке не окажется дефектных деталей, составляет приблизительно 0.816.