Задача 1 (куб). Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины рёбер AB и C₁D₁. Определите вид полученного сечения и найдите его площадь.

Обозначим через M середину ребра AB, а через N — середину ребра C₁D₁.

1. Проведём через точки M и N плоскость сечения.
2. Эта плоскость параллельна грани ADD₁A₁ и пересекает куб также в серединах рёбер CD и A₁B₁. Обозначим их соответственно P и Q.
3. Полученное сечение — прямоугольник MNPQ.
4. Одна сторона прямоугольника равна ребру куба: MP = a. Другая сторона также равна ребру куба: MN = a.
5. Следовательно, сечение является квадратом со стороной a.

Ответ: сечение — квадрат; его площадь равна \(S=a^2\).