Задача 1. Кучки камней. Имеется три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на три кучки. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто из играющих может выиграть, как бы ни играл соперник?

За каждый ход количество кучек увеличивается на одну: две кучки заменяются тремя. Всего камней 120, поэтому кучек не может стать больше 120, если кучки должны содержать хотя бы по одному камню.

Игра может продолжаться до 120 кучек по одному камню. Это достижимо: пока кучек меньше 120, в них есть кучка как минимум из двух камней; объединив её с другой кучкой и разделив камни на три непустые кучки, можно продолжить игру. Когда останется 119 кучек, распределение будет содержать одну кучку из двух камней и 118 кучек по одному; ещё один ход даст 120 кучек по одному камню.

От 3 до 120 кучек — 117 увеличений, значит, игра длится 117 ходов. Это нечётное число, поэтому последний ход делает начинающий.

Ответ: выиграть может Петя.