Задача 1 (лёгкая). Жесть, а не коробочка. В распоряжении экспериментатора Глюка оказался тонкий квадратный лист жести массой m₀ = 512 г с длиной стороны L = 80 см. Глюк вырезал из него несколько квадратных заготовок с длиной стороны a = 10 см и сделал из них полые кубики, из которых затем составил один большой куб с длиной стороны 2a. Определите: 1) какое максимальное число маленьких кубиков можно изготовить? 2) массу M большого куба.

Площадь листа: \(S_0=L^2=80^2=6400\) см². Площадь жести для одного полого кубика без крышки и дна не задана; здесь полый кубик понимается как кубическая оболочка из шести квадратных граней.

1) На один кубик требуется \(6a^2=6\cdot10^2=600\) см² жести. Поэтому по площади листа можно изготовить не более \(\left\lfloor6400/600\right\rfloor=10\) кубиков. Этот предел достижим: десять развёрток куба требуют 60 квадратов размером 10 × 10 см; их можно вырезать из листа, оставив неиспользованными 4 таких квадрата.

2) Куб со стороной \(2a\) составлен из \(2\cdot2\cdot2=8\) маленьких кубиков. Масса жести пропорциональна её площади, поэтому

\[M=m_0\cdot\frac{8\cdot6a^2}{L^2}=512\cdot\frac{8\cdot600}{6400}=384\text{ г}.\]

Ответ: 1) 10 маленьких кубиков; 2) 384 г.