Задача 1. На основе 5% механической выборки из 200 работников предприятия получены следующие данные о времени выполнения операции (в минутах): 20–22 — 10 работников; 22–24 — 30 работников; 24–26 — 80 работников; 26–28 — 50 работников; 28–30 — 30 работников. Определить: среднее время выполнения операции, дисперсию времени, долю работников, выполняющих операцию быстрее 24 минут, с вероятностью 0,954 пределы среднего времени выполнения операции для всего предприятия.

Замечание: указанные частоты в сумме дают 200 работников, тогда как 5% от 200 — это 10 работников. Поэтому расчёты ниже выполнены по приведённым частотам (объём данных равен 200); для доверительных пределов принято, что эти 200 наблюдений составляют выборку.

Для интервальных данных используем середины интервалов: 21, 23, 25, 27 и 29 минут. Объём данных: \(n=10+30+80+50+30=200\).

1. Среднее время: \(\bar{x}=\frac{21\cdot10+23\cdot30+25\cdot80+27\cdot50+29\cdot30}{200}=25.6\) мин.
2. Дисперсия: \(D=\frac{10(21-25.6)^2+30(23-25.6)^2+80(25-25.6)^2+50(27-25.6)^2+30(29-25.6)^2}{200}=4.44\) мин².
3. Быстрее 24 минут операцию выполняют работники из первых двух интервалов: \(\frac{10+30}{200}=0.2\), то есть 20%.
4. Для вероятности 0,954 используем приближение \(\bar{x}\pm2\sqrt{D/n}\). Стандартная ошибка: \(\sqrt{4.44/200}\approx0.149\) мин. Пределы: \(25.6\pm2\cdot0.149\), то есть приблизительно от 25.30 до 25.90 мин.

Ответ: среднее время — 25,6 мин; дисперсия — 4,44 мин²; доля работников, выполняющих операцию быстрее 24 минут, — 20%; доверительные пределы среднего при указанных допущениях — 25,30–25,90 мин.