Задача 1. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx тела от времени t. Определите путь, пройденный телом в интервале времени от 5 до 10 с.

Решение:

Чтобы найти путь, пройденный телом, нужно вычислить площадь под графиком скорости. Для интервала времени от 5 до 10 с график представляет собой трапецию.

Высота трапеции равна разнице во времени: \( h = 10 \text{ с} - 5 \text{ с} = 5 \text{ с} \).

Значения скорости в начале и конце интервала:

• При \( t = 5 \text{ с} \), \( v_x = -10 \text{ м/с} \)
• При \( t = 10 \text{ с} \), \( v_x = 0 \text{ м/с} \)

Площадь трапеции (путь) вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} × h \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции.

В данном случае, основаниями являются значения скорости в точках \( t=5 \text{ с} \) и \( t=10 \text{ с} \). Однако, так как скорость отрицательная, нам нужно учитывать абсолютное значение для пройденного пути.

Путь — это интеграл от модуля скорости по времени. На данном участке скорость меняется линейно от -10 м/с до 0 м/с. Это означает, что тело движется в отрицательном направлении, но его скорость увеличивается (становится менее отрицательной).

Путь на данном участке будет равен площади под графиком, где мы учитываем, что движение происходит в отрицательном направлении. Площадь под осью t является отрицательной, и для пройденного пути мы берем модуль.

Путь на участке от 5 до 10 с — это площадь треугольника с основанием \( 10 - 5 = 5 \text{ с} \) и высотой \( | -10 \text{ м/с} | = 10 \text{ м/с} \).

\( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \)

\( S = \frac{1}{2} \times (10 - 5) \text{ с} \times |-10 \text{ м/с}| \)

\( S = \frac{1}{2} \times 5 \text{ с} \times 10 \text{ м/с} \)

\( S = 25 \text{ м} \)

Альтернативный подход:

Путь — это интеграл от модуля скорости. На участке от 5 до 10 с скорость линейно изменяется от -10 м/с до 0 м/с. Скорость равна \( v_x(t) = -2t + 10 \) для \( 5 ≤ t ≤ 10 \).

Путь \( S = ∫_{5}^{10} |v_x(t)| dt = ∫_{5}^{10} |-2t + 10| dt \). Поскольку \( -2t + 10 ≤ 0 \) на этом интервале, \( |-2t + 10| = -(-2t + 10) = 2t - 10 \).

\( S = ∫_{5}^{10} (2t - 10) dt = [t^2 - 10t]_{5}^{10} = ((10)^2 - 10 × 10) - ((5)^2 - 10 × 5) \)

\( S = (100 - 100) - (25 - 50) = 0 - (-25) = 25 \text{ м} \).

Ответ: 25 м.