Задача 1. На стороне AC треугольника ABC выбрали точки K и L так, что L — середина отрезка AK, BK — биссектриса угла LBC и BC=2BL. Докажите, что KC=AB.

Доказательство.

Обозначим через O проекцию точки L на прямую BK. Пусть ∠LBK=∠KBC=α, а BL=d. Поскольку BK — биссектриса угла LBC, лучи BL и BC симметричны относительно BK. Поэтому проекции отрезков BL и BC на BK направлены одинаково.

Из условия BC=2BL следует, что проекция C на BK находится на расстоянии вдвое большем от B, чем проекция L. Выберем ось x вдоль BK, начало координат в B, а положительное направление — от B к K. Тогда можно записать:

\(B=(0,0),\quad L=(d\cos\alpha,-d\sin\alpha),\quad C=(2d\cos\alpha,2d\sin\alpha),\quad K=(k,0).\)

Так как L — середина AK, то \(A=2L-K\), то есть \(A=(2d\cos\alpha-k,-2d\sin\alpha)\).

Точки A, K и C лежат на одной прямой. Условие коллинеарности векторов \(\overrightarrow{KA}\) и \(\overrightarrow{KC}\) даёт:

\((2d\cos\alpha-2k)\cdot 2d\sin\alpha+2d\sin\alpha\cdot(2d\cos\alpha-k)=0.\)

При невырожденном треугольнике \(\sin\alpha\ne0\), поэтому отсюда \(k=\frac{3}{2}d\cos\alpha\).

Теперь сравним квадраты длин:

\(AB^2=(2d\cos\alpha-k)^2+(2d\sin\alpha)^2,\)

\(KC^2=(2d\cos\alpha-k)^2+(2d\sin\alpha)^2.\)

Следовательно, \(AB^2=KC^2\). Длины отрезков неотрицательны, поэтому \(AB=KC\).

Доказано: KC=AB.