Задача 1. Основание равнобедренного треугольника равно 4. Медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.

Обозначим боковую сторону через \(x\). Медиана проведена к боковой стороне, значит делит её пополам: каждая часть равна \(x/2\).

По теореме Аполлония для медианы к стороне длины \(x\): \(5^2=\frac{2x^2+2\cdot4^2-x^2}{4}\).

Тогда \(100=2x^2+32-x^2\), откуда \(x^2=68\). Следовательно, \(x=2\sqrt{17}\).

Ответ: \(2\sqrt{17}\).