Задача 1. Пересечение двух плоскостей. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, K∈DD₁, DK=KD₁. 1. Объясните, как построить точку пересечения прямой B₁K с плоскостью ABC. 2. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей AB₁K и ADD₁. 3. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей AB₁K и ADC. 4. Вычислите длины отрезков AK и AB₁, если AD=a.

1. Плоскость AB₁K пересекает плоскость ABC по прямой, проходящей через общую точку A. Прямую B₁K продолжаем до пересечения с плоскостью ABC в точке P. Тогда линия пересечения плоскостей — AP.

2. Точки A и K принадлежат обеим плоскостям AB₁K и ADD₁. Поэтому линия их пересечения — прямая AK.

3. Плоскости ABC и ADC совпадают, так как обе являются плоскостью основания куба ABCD. Следовательно, линия пересечения плоскостей AB₁K и ADC совпадает с линией пересечения AB₁K и ABC, то есть это прямая AP, где \(P=B₁K\cap ABC\).

4. Так как \(DK=KD₁\), точка K — середина ребра DD₁. В прямоугольном треугольнике ADD₁:

\(AD=a\), \(DD₁=a\), \(DK=\frac a2\).

По теореме Пифагора:

\[AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt5}{2}.\]

Отрезок AB₁ — пространственная диагональ куба:

\[AB₁=\sqrt{AB^2+BB₁^2+A A₁^2}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3.\]

Ответ: 1) точка \(P=B₁K\cap ABC\), линия пересечения — AP; 2) AK; 3) AP; 4) \(AK=\frac{a\sqrt5}{2}\), \(AB₁=a\sqrt3\).