Задача 1. По статистическим данным, в среднем 87% людей доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что из 1000 новорождённых не менее 800 доживут до 50 лет.

Обозначим через X число новорождённых из 1000, доживших до 50 лет. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 1000 и p = 0.87.

1. Математическое ожидание: \(M(X)=np=1000\cdot0.87=870\).
2. Дисперсия: \(D(X)=npq=1000\cdot0.87\cdot0.13=113.1\).
3. Если число доживших окажется меньше 800, то отклонение от среднего составит не менее \(870-800=70\).
4. По неравенству Чебышёва: \(P(|X-870|\ge70)\le\frac{113.1}{70^2}=\frac{113.1}{4900}\approx0.0231\).
5. Следовательно, \(P(X\ge800)\ge1-0.0231=0.9769\).

Ответ: вероятность того, что не менее 800 новорождённых доживут до 50 лет, не меньше 0.9769, или примерно 97.69%.