Задача 1. Прямые a и b пересекают три данные параллельные плоскости в точках A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃ соответственно (точка A₂ лежит между точками A₁ и A₃, а точка B₂ — между точками B₁ и B₃). Известно, что A₁A₂ = 12 см, B₂B₃ = 27 см и A₂A₃ = B₁B₂. Найдите длины отрезков A₁A₃ и B₁B₃.

По теореме о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными плоскостями на двух прямых, \(\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}\).

Обозначим \(x=A_2A_3=B_1B_2\). Подставим данные: \(\frac{12}{x}=\frac{x}{27}\), откуда \(x^2=324\). Так как длина положительна, \(x=18\) см.

Тогда \(A_1A_3=A_1A_2+A_2A_3=12+18=30\) см, а \(B_1B_3=B_1B_2+B_2B_3=18+27=45\) см.

Ответ: \(A_1A_3=30\) см, \(B_1B_3=45\) см.