Задача 1. Расписание уроков. В понедельник в 5 классе 5 уроков: математика, русский язык, физкультура, история, биология. Известно: 1. Математика и русский язык идут подряд, но не первыми. 2. Физкультура не первая и не последняя. 3. История идёт перед биологией. 4. Русский язык – после физкультуры. В каком порядке идут уроки в понедельник?

Решение:

1. Анализ условий:
   • Всего 5 уроков: Математика (М), Русский язык (Р), Физкультура (Ф), История (И), Биология (Б).
   • М и Р идут подряд, но не первыми.
   • Ф не первая и не последняя (т.е. 2, 3 или 4 урок).
   • И перед Б.
   • Р после Ф.
2. Применение условий:
   • Из условия 4 (Р после Ф) и условия 2 (Ф не последняя), следует, что Ф не может быть 4-й, так как тогда Р будет 5-м, но Ф не может быть 4-й.
   • Из условия 1 (М и Р подряд, не первыми), Р не может быть 2-м (т.к. Ф идет перед Р, а Ф не первая), и М не может быть 1-м, и Р не может быть 5-м.
   • Рассмотрим возможные варианты для Ф:
     • Если Ф - 2-й урок: Тогда Р - 3-й (Р после Ф). М и Р идут подряд, значит М - 2-й. Но Ф - 2-й. Противоречие.
     • Если Ф - 3-й урок: Тогда Р - 4-й. М и Р идут подряд, значит М - 3-й. Но Ф - 3-й. Противоречие.
     • Если Ф - 4-й урок: Тогда Р - 5-й. М и Р идут подряд, значит М - 4-й. Но Ф - 4-й. Противоречие.
     • Попробуем иначе: Из условия «Р после Ф» и «Ф не первая и не последняя», Ф может быть 2-й, 3-й или 4-й.
     • Если Ф — 2-я, то Р — 3-й или 4-й.
     • Если Ф — 3-я, то Р — 4-й или 5-й.
     • Если Ф — 4-я, то Р — 5-й.
     • Условие «М и Р идут подряд» значит, что они занимают позиции (2,3), (3,4) или (4,5).
     • Условие «М и Р не первыми» исключает (1,2) и (2,3) если М 1-я.
     • Из «Р после Ф» и «Ф не первая и не последняя», Ф может быть 2, 3, 4.
     • Из «М и Р идут подряд, но не первыми», пары (М, Р) могут быть (2,3), (3,4).
     • Из «Р после Ф», Ф должна быть раньше Р.
     • Если (М, Р) = (2,3), то Ф должна быть 1-й, что неверно.
     • Если (М, Р) = (3,4), то Ф может быть 2-й. Тогда Ф=2, М=3, Р=4.
     • Проверим: Ф(2), М(3), Р(4). Остаются И и Б.
     • Идет перед Б. Значит, И - 1-й, Б - 5-й.
     • Получаем: И(1), Ф(2), М(3), Р(4), Б(5).
     • Проверим условия:
     • 1. М и Р идут подряд (3,4) - Да. Не первыми - Да.
     • 2. Ф не первая (2) и не последняя (5) - Да.
     • 3. И идёт перед Б (1 перед 5) - Да.
     • 4. Р после Ф (4 после 2) - Да.
     • Все условия соблюдены.

   Ответ: История, Физкультура, Математика, Русский язык, Биология.