Задача 1. Разгон автомобиля. Дано: масса автомобиля с водителем \(m=1{,}7\cdot10^3\) кг; колесная база \(l=2{,}6\) м; центр масс расположен на высоте \(h=0{,}80\) м и равноудален от осей; ведущие колёса — передние; мощность двигателя \(P=110\) кВт; коэффициент трения \(\mu_0=0{,}80\); \(g=9{,}8\) м/с². Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь. 1.1 Рассчитайте максимально возможное ускорение автомобиля. 1.2 Рассчитайте минимальное время разгона из состояния покоя до скорости \(v=100\) км/ч.

1.1. Максимальное ускорение

При разгоне нагрузка на передние колёса уменьшается. Обозначим через \(N_f\) реакцию дороги на переднюю ось. Из равновесия по вертикали и моментов относительно центра масс:

\(N_f+N_r=mg\), \(\frac l2(N_r-N_f)=mah\).

Отсюда \(N_f=\frac{mg}{2}-\frac{mah}{l}\). Предельная сила сцепления передних ведущих колёс равна \(F=\mu_0N_f\), а по второму закону Ньютона \(F=ma\). Поэтому:

\(a=\mu_0(\frac g2-\frac{ah}{l})\), следовательно, \(a_{\max}=\frac{\mu_0g}{2(1+\mu_0h/l)}\).

Подставим значения: \(a_{\max}=\frac{0.80\cdot9.8}{2(1+0.80\cdot0.80/2.6)}\approx2.63\) м/с².

1.2. Минимальное время разгона

Скорость \(100\) км/ч равна \(27.78\) м/с. Сначала ускорение ограничено сцеплением: \(a=a_{\max}\). Когда требуемая для этого мощность \(ma_{\max}v\) достигает мощности двигателя, далее ускорение ограничено мощностью: \(a=P/(mv)\).

Граничная скорость: \(v_* =P/(ma_{\max})=110000/(1700\cdot2.63)\approx24.6\) м/с. Она меньше целевой скорости, поэтому разгон состоит из двух участков.

Время первого участка: \(t_1=v_*/a_{\max}\approx24.6/2.63\approx9.35\) с.

На втором участке \(m v\,dv/dt=P\), поэтому \(t_2=m(v^2-v_*^2)/(2P)\approx1700(27.78^2-24.6^2)/(2\cdot110000)\approx1.29\) с.

Итого: \(t_{\min}=t_1+t_2\approx10.6\) с.

Ответ: 1.1) \(a_{\max}\approx2.63\) м/с²; 1.2) \(t_{\min}\approx10.6\) с.