Задача 1. Решите биквадратное уравнение (Вариант №1): а) d⁴ − 2d² + 1 = 0; б) −5s⁴ = 10s² + 12; в) 6x⁴ = −26x² − 24; г) k⁴ − 8k² = −16; д) 20m⁴ = −11m² + 3; е) 10c⁴ − 49c² = −49.

Для каждого уравнения заменим четвёртую степень квадратом новой переменной: например, для переменной d положим u = d², где u ≥ 0. После решения квадратного уравнения оставляем только неотрицательные значения u и возвращаемся к исходной переменной.

1. а) d⁴ − 2d² + 1 = 0. Положим u = d²: u² − 2u + 1 = 0, то есть (u − 1)² = 0. Тогда u = 1, поэтому d² = 1 и d = ±1.

2. б) −5s⁴ = 10s² + 12. Положим u = s²: 5u² + 10u + 12 = 0. Дискриминант D = 10² − 4 · 5 · 12 = −140 < 0, поэтому действительных значений u, а значит и действительных корней s, нет.

3. в) 6x⁴ = −26x² − 24. Положим u = x²: 3u² + 13u + 12 = 0. Разложим: (3u + 4)(u + 3) = 0, откуда u = −4/3 или u = −3. Оба значения отрицательны, но x² ≥ 0, поэтому действительных корней нет.

4. г) k⁴ − 8k² = −16. Положим u = k²: u² − 8u + 16 = 0, то есть (u − 4)² = 0. Тогда k² = 4 и k = ±2.

5. д) 20m⁴ = −11m² + 3. Положим u = m²: 20u² + 11u − 3 = 0. D = 11² − 4 · 20 · (−3) = 361; u = (−11 ± 19)/40. Получаем u = 1/5 или u = −3/4. Отрицательное значение не подходит, поэтому m² = 1/5 и m = ±1/√5.

6. е) 10c⁴ − 49c² = −49. Положим u = c²: 10u² − 49u + 49 = 0. D = 49² − 4 · 10 · 49 = 441; u = (49 ± 21)/20. Получаем u = 7/2 или u = 7/5. Оба значения положительны, поэтому c = ±√(7/2) или c = ±√(7/5).

Ответ: а) d = ±1; б) действительных корней нет; в) действительных корней нет; г) k = ±2; д) m = ±1/√5; е) c = ±√(7/2), ±√(7/5).