Задача 1. Решите биквадратное уравнение (Вариант №2): а) v⁴ − 5v² = −4; б) 8r⁴ = 9r² − 15; в) 2b⁴ + 14b² = −20; г) 4d⁴ = 16d² − 16; д) 15a⁴ + 22a² = 5; е) 5k⁴ + 5 = 26k².

В каждом уравнении положим u равным квадрату соответствующей переменной. Так как квадрат неотрицателен, при обратной подстановке учитываем только u ≥ 0.

1. а) v⁴ − 5v² = −4. Положим u = v²: u² − 5u + 4 = 0, то есть (u − 1)(u − 4) = 0. Значит, v² = 1 или v² = 4, откуда v = ±1, ±2.

2. б) 8r⁴ = 9r² − 15. Положим u = r²: 8u² − 9u + 15 = 0. D = (−9)² − 4 · 8 · 15 = −399 < 0, поэтому действительных корней нет.

3. в) 2b⁴ + 14b² = −20. Положим u = b²: u² + 7u + 10 = 0, то есть (u + 5)(u + 2) = 0. Получаем u = −5 или u = −2; оба значения отрицательны, поэтому действительных корней b нет.

4. г) 4d⁴ = 16d² − 16. Разделим на 4 и перенесём слагаемые: d⁴ − 4d² + 4 = 0. При u = d² получаем (u − 2)² = 0, значит d² = 2 и d = ±√2.

5. д) 15a⁴ + 22a² = 5. Положим u = a²: 15u² + 22u − 5 = 0. D = 22² − 4 · 15 · (−5) = 784; u = (−22 ± 28)/30. Получаем u = 1/5 или u = −5/3. Отрицательное значение не подходит, поэтому a = ±1/√5.

6. е) 5k⁴ + 5 = 26k². Положим u = k²: 5u² − 26u + 5 = 0. D = 26² − 4 · 5 · 5 = 576; u = (26 ± 24)/10. Получаем u = 5 или u = 1/5, поэтому k = ±√5 или k = ±1/√5.

Ответ: а) v = ±1, ±2; б) действительных корней нет; в) действительных корней нет; г) d = ±√2; д) a = ±1/√5; е) k = ±√5, ±1/√5.