Задача 1. Стрелок поражает мишень при каждом выстреле с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена лишь при первом и третьем выстрелах, если стрелок выстрелил по мишени 3 раза?

Решение:

Пусть событие \(A\) — попадание стрелком по мишени при одном выстреле, тогда событие \(\overline{A}\) — промах.

По условию задачи:

\( P(A) = 0,8 \)

Вероятность промаха:

\( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2 \).

Рассматриваемое событие \(B\) состоит в том, что стрелок при первом выстреле поразил мишень, при втором промахнулся, при третьем снова попал. Обозначим это как \( A \overline{A} A \).

Попадание и непопадание по мишени в рассматриваемой серии независимы, поэтому вероятность этого события равна произведению вероятностей отдельных событий:

\( P(B) = P(A \text{ (первый выстрел)}) \times P(\overline{A} \text{ (второй выстрел)}) \times P(A \text{ (третий выстрел)}) \)

\( P(B) = P(A) \times P(\overline{A}) \times P(A) \)

\( P(B) = 0,8 \times 0,2 \times 0,8 \)

\( P(B) = 0,16 \times 0,8 \)

\( P(B) = 0,128 \)

Ответ: 0,128