Задача 1. В четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°, AB ∥ CD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей AC и BD.

1. Так как ∠A + ∠B = 180°, то внутренние односторонние углы при пересечении прямых AD и BC секущей AB являются дополнительными. Следовательно, AD ∥ BC.

2. По условию AB ∥ CD. Значит, в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.

3. В параллелограмме противоположные стороны равны: AD = BC. Из условия BM = KD получаем

   \(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{KD}{AD}\).

   Обозначим это отношение через t. Тогда точки M и K делят противоположные стороны параллелограмма в одинаковом отношении:

   \(BM=t\cdot BC,\qquad KD=t\cdot AD.\)

4. Центр параллелограмма O является серединой обеих диагоналей. Центральная симметрия относительно точки O переводит точку B в точку D, а точку C — в точку A. Поэтому точка, делящая сторону BC на доли t и 1 − t, переходит в точку, делящую сторону DA на такие же доли. Следовательно, точка M переходит в точку K.

5. Значит, точки M и K симметричны относительно точки O. Поэтому O — середина отрезка MK, а значит,

   \(OM=OK\).

Ответ: точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей: \(OM=OK\).