Задача №1. В трапеции ABCD AB = CD = 8 см, ∠CBD = 58°, ∠ABD = 46°. Найдите: 1) основания и диагональ трапеции; 2) радиус окружности, описанной около треугольника ABD.

Поскольку равные стороны AB и CD не могут быть основаниями невырожденной трапеции, принимаем их за равные боковые стороны, а основаниями — AD и BC; значит, AD ∥ BC и трапеция равнобедренная.

В треугольнике ABD угол ADB равен ∠CBD = 58° как накрест лежащий при AD ∥ BC. Тогда ∠BAD = 180° − 46° − 58° = 76°.

По теореме синусов в треугольнике ABD:

AD / sin 46° = AB / sin 58°, поэтому AD = 8 sin 46° / sin 58° ≈ 6,76 см.

BD / sin 76° = AB / sin 58°, поэтому BD = 8 sin 76° / sin 58° ≈ 9,39 см.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании BC равны: ∠ABC = ∠BCD. При этом ∠ABC = 46° + 58° = 104°, поэтому ∠BCD = 104°. В треугольнике BCD угол BDC = 180° − 104° − 58° = 18°. Снова применим теорему синусов: BC = 8 sin 18° / sin 58° ≈ 2,89 см.

Радиус описанной около треугольника ABD окружности находим по формуле R = AB / (2 sin ∠ADB): R = 8 / (2 sin 58°) ≈ 4,72 см.

Ответ: основания AD ≈ 6,76 см и BC ≈ 2,89 см; диагональ BD ≈ 9,39 см; радиус описанной окружности R ≈ 4,72 см.