Задача 1. В треугольник АВС вписана окружность. Точки касания делят сторону АС на отрезки 3 см и 5 см. Найдите сторону АС и периметр треугольника, если известно, что оставшийся отрезок третьей стороны равен 4 см.

Решение задачи 1:

Вспомним свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

Пусть точки касания на сторонах AB, BC, AC будут D, E, F соответственно.

По условию, точка касания делит сторону AC на отрезки 3 см и 5 см. Пусть AF = 3 см и FC = 5 см. Следовательно, сторона AC = AF + FC = 3 см + 5 см = 8 см.

Так как отрезки касательных от одной вершины равны:

• AD = AF = 3 см
• CE = CF = 5 см
• BD = BE (обозначим как x см)

По условию, оставшийся отрезок третьей стороны равен 4 см. Третья сторона — это AB. Отрезки, на которые точки касания делят сторону AB, это AD и BD. Мы знаем AD = 3 см. Следовательно, BD = 4 см. Значит, x = 4 см.

Теперь найдем длины всех сторон треугольника:

• AC = AF + FC = 3 + 5 = 8 см
• AB = AD + DB = 3 + 4 = 7 см
• BC = BE + EC = 4 + 5 = 9 см

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

P = AB + BC + AC = 7 см + 9 см + 8 см = 24 см.

Ответ: Сторона AC равна 8 см, периметр треугольника равен 24 см.