Задача 1. В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведённая к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.

Пусть третья сторона — сторона BC, а медиана AD проведена к ней. Тогда AB и AC равны 11 и 23, а AD равна 10. Поскольку медиана делит сторону пополам, обозначим BD = DC = x; следовательно, BC = 2x.

По теореме Аполлония для медианы:

\(AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)\).

Подставим известные длины:

\(11^2 + 23^2 = 2(10^2 + x^2)\).

\(121 + 529 = 200 + 2x^2\), откуда \(2x^2 = 450\), \(x^2 = 225\), значит, \(x = 15\).

Тогда \(BC = BD + DC = 2x = 30\).

Ответ: 30.