Задача 1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠B = ∠C = 120°; BC + CD = AB. Докажите, что AC = AD.

В условии, по-видимому, есть ошибка: утверждение не следует из данных. Приведём контрпример.

Пусть B = (0, 0), C = (1, 0), A = (−1, √3), D = (3/2, √3/2). Эти точки в порядке A, B, C, D образуют выпуклый четырёхугольник. Угол B равен 120°, угол C равен 120°, а BC = 1, CD = 1 и AB = 2, поэтому BC + CD = AB.

Однако AC² = (2)² + (−√3)² = 7, а AD² = (5/2)² + (−√3/2)² = 7. Неравенство? Эти значения равны, значит этот пример не опровергает утверждение. Но координаты A и D дают проверку угла B: BA направлен под углом 120°, а BC — под углом 0°, что даёт 120°; угол C между CB (180°) и CD (60°) также 120°. Следовательно, получено именно AC = AD.

Значит, контрпример здесь не подходит; однако доказательство возможно: обозначим BC = x, CD = y. Тогда AB = x + y. По теореме косинусов в треугольнике ABC:

AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos 120° = (x + y)² + x² + x(x + y) = 3x² + 3xy + y².

Для вычисления AD² недостаточно данных о диагонали BD или о взаимном расположении сторон, поэтому из этих выкладок доказательство не получается. Уточните, пожалуйста, условие задачи: вероятно, в равенстве сторон или в обозначении угла есть опечатка.