Задача 10. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, диагонали которой пересекаются в точке O, ∠ABO = 61°, ∠COD = 87°. Найдите ∠BDC. Ответ дайте в градусах.

Так как трапеция равнобедренная, её диагонали симметричны, поэтому в треугольнике BOC равны стороны OB и OC.

Угол BOC вертикален углу COD, значит, ∠BOC = 87°. Тогда углы при основании треугольника BOC равны:

∠OBC = ∠BCO = (180° − 87°) : 2 = 46,5°.

Поскольку O лежит на диагонали BD, ∠DBC = ∠OBC = 46,5°. А так как AD ∥ BC, накрест лежащий угол ∠ADB также равен 46,5°.

В равнобедренной трапеции углы при основании BC равны. Поэтому ∠BCD = ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 61° + 46,5° = 107,5°. Соседние углы при боковой стороне CD supplementary:

∠ADC = 180° − 107,5° = 72,5°.

Диагональ DB делит угол ADC на углы ADB и BDC, следовательно:

∠BDC = ∠ADC − ∠ADB = 72,5° − 46,5° = 26°.

Ответ: 26°.