Задача № 10. Дано: ABCD — четырёхугольник. K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD и AD. Доказать: KLMN — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник ABC. Точки K и L — середины сторон AB и BC, поэтому по теореме о средней линии треугольника KL ∥ AC.

Рассмотрим треугольник ADC. Точки N и M — середины сторон AD и DC, поэтому NM ∥ AC.

Следовательно, KL ∥ NM. Значит, в четырёхугольнике KLMN одна пара противоположных сторон параллельна. Кроме того, KL = AC/2 и NM = AC/2, поэтому KL = NM.

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, KLMN — параллелограмм.