Задача №10. Графическое определение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и перемещений для двухступенчатого бруса. Условие: Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F₁, F₂, F₃. Площади поперечных сечений ступеней A₁ и A₂. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса, приняв E = 2·10⁵ Н/мм², и построить эпюру перемещений поперечных сечений бруса. Исходные данные: F₁ = 20 кН F₂ = 8 кН F₃ = 4 кН A₁ = 1 см² A₂ = 1,5 см² a = 0,4 м E = 2·10⁵ Н/мм² Выполнить чертёж к задаче. Масштаб: 1:2

Решение:

1. Определение продольных сил в сечениях.

Для определения продольных сил в каждом участке бруса, разобьем его на три участка согласно приложенным силам и ступеням:

• Участок 1 (справа): Сечение находится правее силы F₁. Продольная сила N₁ равна силе F₁.
• Участок 2 (средний): Сечение находится между силами F₁ и F₂. Продольная сила N₂ равна сумме сил, действующих справа от сечения: N₂ = F₁ - F₂.
• Участок 3 (слева): Сечение находится левее силы F₂. Продольная сила N₃ равна алгебраической сумме всех сил, действующих на брус: N₃ = F₁ - F₂ - F₃.

Подставляем значения:

• N₁ = F₁ = 20 кН
• N₂ = F₁ - F₂ = 20 кН - 8 кН = 12 кН
• N₃ = F₁ - F₂ - F₃ = 20 кН - 8 кН - 4 кН = 8 кН

2. Построение эпюры продольных сил (N).

Эпюра продольных сил строится по участкам:

• На участке 1 (длина 2a) постоянная сила N₁ = 20 кН.
• На участке 2 (длина a) постоянная сила N₂ = 12 кН.
• На участке 3 (длина a) постоянная сила N₃ = 8 кН.

(Графическое изображение эпюры N будет представлено в виде SVG-чертежа ниже.)

3. Определение нормальных напряжений в сечениях (σ).

Нормальное напряжение определяется по формуле \( \sigma = \frac{N}{A} \), где N – продольная сила, A – площадь поперечного сечения.

Переведем площади в мм²:

• A₁ = 1 см² = 100 мм²
• A₂ = 1,5 см² = 150 мм²

Рассчитаем напряжения для каждого участка:

• Участок 1 (площадь A₁): \( \sigma_1 = \frac{N_1}{A_1} = \frac{20 \text{ кН}}{100 \text{ мм}^2} = \frac{20000 \text{ Н}}{100 \text{ мм}^2} = 200 \text{ Н/мм}^2 = 200 \text{ МПа} \)
• Участок 2 (площадь A₂): \( \sigma_2 = \frac{N_2}{A_2} = \frac{12 \text{ кН}}{150 \text{ мм}^2} = \frac{12000 \text{ Н}}{150 \text{ мм}^2} = 80 \text{ Н/мм}^2 = 80 \text{ МПа} \)
• Участок 3 (площадь A₂): \( \sigma_3 = \frac{N_3}{A_2} = \frac{8 \text{ кН}}{150 \text{ мм}^2} = \frac{8000 \text{ Н}}{150 \text{ мм}^2} \approx 53.33 \text{ Н/мм}^2 \approx 53.33 \text{ МПа} \)

4. Построение эпюры нормальных напряжений (σ).

Эпюра нормальных напряжений строится аналогично эпюре продольных сил, но с учетом площадей сечений.

• На участке 1 (длина 2a) постоянное напряжение \( \sigma_1 \approx 200 \text{ МПа} \).
• На участке 2 (длина a) постоянное напряжение \( \sigma_2 = 80 \text{ МПа} \).
• На участке 3 (длина a) постоянное напряжение \( \sigma_3 \approx 53.33 \text{ МПа} \).

(Графическое изображение эпюры σ будет представлено в виде SVG-чертежа ниже.)

5. Определение перемещений.

Перемещение свободного конца бруса (точка приложения силы F₁) определяется как сумма перемещений каждого участка. Перемещение участка \( \Delta L_i = \frac{N_i \cdot L_i}{A_i \cdot E} \).

Приведенный модуль упругости E = 2·10⁵ Н/мм².

• Участок 1 (длина L₁ = 2a = 0,8 м = 800 мм): \( \Delta L_1 = \frac{N_1 \cdot L_1}{A_1 \cdot E} = \frac{20000 \text{ Н} \cdot 800 \text{ мм}}{100 \text{ мм}^2 \cdot 2 \cdot 10^5 \text{ Н/мм}^2} = \frac{16 \cdot 10^6}{20 \cdot 10^6} = 0.8 \text{ мм} \)
• Участок 2 (длина L₂ = a = 0,4 м = 400 мм): \( \Delta L_2 = \frac{N_2 \cdot L_2}{A_2 \cdot E} = \frac{12000 \text{ Н} \cdot 400 \text{ мм}}{150 \text{ мм}^2 \cdot 2 \cdot 10^5 \text{ Н/мм}^2} = \frac{4.8 \cdot 10^6}{30 \cdot 10^6} = 0.16 \text{ мм} \)
• Участок 3 (длина L₃ = a = 0,4 м = 400 мм): \( \Delta L_3 = \frac{N_3 \cdot L_3}{A_2 \cdot E} = \frac{8000 \text{ Н} \cdot 400 \text{ мм}}{150 \text{ мм}^2 \cdot 2 \cdot 10^5 \text{ Н/мм}^2} = \frac{3.2 \cdot 10^6}{30 \cdot 10^6} \approx 0.107 \text{ мм} \)

Общее перемещение свободного конца бруса:

Свободный конец бруса смещается вправо, так как силы F₁, F₂, F₃ растягивают брус (если смотреть от закрепленного конца). Суммарное перемещение \( \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_3 \) (если считать растяжение положительным).

\( \Delta L = 0.8 \text{ мм} + 0.16 \text{ мм} + 0.107 \text{ мм} \approx 1.067 \text{ мм} \)

6. Построение эпюры перемещений (u).

Эпюра перемещений будет показывать линейное изменение перемещения вдоль длины бруса.

• Начальное перемещение (у закрепленного конца) равно 0.
• На границе участков 3 и 2 (после длины 'a'): \( u_a = \Delta L_3 \approx 0.107 \text{ мм} \).
• На границе участков 2 и 1 (после длины 'a' + 'a' = '2a'): \( u_{2a} = \Delta L_3 + \Delta L_2 \approx 0.107 \text{ мм} + 0.16 \text{ мм} \approx 0.267 \text{ мм} \).
• На свободном конце бруса (после длины '2a' + '2a' = '4a'): \( u_{4a} = \Delta L_3 + \Delta L_2 + \Delta L_1 \approx 0.107 \text{ мм} + 0.16 \text{ мм} + 0.8 \text{ мм} \approx 1.067 \text{ мм} \).

(Графическое изображение эпюры u будет представлено в виде SVG-чертежа ниже.)

SVG-чертеж:

Ответ:

Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений построены. Суммарное перемещение свободного конца бруса составляет приблизительно 1.067 мм.