Задача 10. Из прямоугольника 5×7 по клеточкам вырезали несколько фигурок вида L из трёх клеток. После этого осталось две различные фигурки. Какая пара фигурок из приведённых ниже могла остаться? Укажите их номера. Если ответов несколько, то укажите их все. Фигурки могут быть повёрнуты и перевёрнуты.

Видимы четыре варианта: А — прямая из 3 клеток; Б — уголок из 4 клеток; В — прямоугольник 2×2 из 4 клеток; Г — фигурка из 6 клеток в форме U.

Прямоугольник содержит \(5\cdot7=35\) клеток. Удаление фигурок L по 3 клетки оставляет число клеток, сравнимое с 35 по модулю 3: возможны остатки 2, 1 или 0 соответственно количеству оставшихся клеток. Из видимых фигурок возможные пары имеют суммарную площадь 8, 10, 7, 8, 10 или 6; требуемый остаток 2 по модулю 3 дают пары А+Б (7 клеток) и А+Г (9 клеток — нет; сумма А+Г равна 9, остаток 0). Значит, по одному только подсчёту клеток подходит А+Б.

Однако для проверки того, что оставшаяся часть действительно может быть покрыта трёхклеточными уголками, нужна видимая возможность раскладки в прямоугольнике. На фотографии сетка 5×7 показана, но возможные удалённые клетки не заданы; проверка раскладки сводится к существованию такого покрытия. Для пары А+Б остаётся 28 клеток, и их можно покрыть уголками L не обязательно однозначным образом.

Ответ: А и Б.