Задача 10. На рисунке в параллелограмме ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки M и N так, что BM = DN. Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Поскольку ABCD — параллелограмм, \(BC\parallel AD\) и \(BC=AD\). По условию \(BM=DN\), поэтому из равенства частей равных отрезков получаем \(MC=AN\):

\(MC=BC-BM\), а \(AN=AD-DN\), следовательно, \(MC=AN\).

Кроме того, \(MC\parallel AN\), так как они лежат на параллельных прямых BC и AD. Значит, в четырёхугольнике AMCN одна пара противоположных сторон равна и параллельна. По признаку параллелограмма AMCN — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.