Задача 10. В равнобедренной трапеции угол между диагональю и основанием равен 45°, а угол между диагональю и боковой стороной — 35°. Найдите все углы трапеции и укажите, какой из них наибольший.

Обозначим острый угол трапеции через \(\alpha\), а тупой — через \(\beta\). Соседние углы при боковой стороне являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна \(180^\circ\): \(\alpha+\beta=180^\circ\).

В равнобедренной трапеции диагональ делит угол при основании на два угла: угол между диагональю и основанием равен \(45^\circ\), а угол между диагональю и боковой стороной — \(35^\circ\). Следовательно, угол при большем основании равен \(45^\circ+35^\circ=80^\circ\).

Тогда каждый угол при другом основании равен \(180^\circ-80^\circ=100^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(80^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 100^\circ\); наибольшие углы равны \(100^\circ\).