Задача 10. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 18, BC = BM. Найдите отрезок AH.

Пусть точка H имеет координату \(x\) на прямой AC, если принять A за начало координат. Тогда C имеет координату 18, а поскольку BM — медиана, M имеет координату 9. Высота BH перпендикулярна AC.

По теореме Пифагора:

\(BC^2 = (18-x)^2 + BH^2\),

\(BM^2 = (9-x)^2 + BH^2\).

По условию \(BC = BM\), поэтому:

\((18-x)^2 + BH^2 = (9-x)^2 + BH^2\),

\((18-x)^2 = (9-x)^2\).

Раскрывая разность квадратов, получаем \((9)(27-2x)=0\), откуда \(x=13.5\). Следовательно, \(AH=13.5\).

Ответ: 13,5.