Задача 100. Дан список множеств: ∅, {1}, {{1}}, {∅}, {∅, 1}, {∅, {1}}, {∅, 1, {∅, 1}}, {{∅, {1}}, {1}, 1, ∅}. Для каждой пары множеств выясните, является ли одно из них элементом или подмножеством другого. Если да, укажите, какое каким: чем приходится.

Обозначим множества в указанном порядке через A₁, A₂, …, A₉.

1. ∅ является подмножеством любого множества: ∅ ⊆ A_i для всех i.
2. {1} является подмножеством тех множеств, которые содержат элемент 1: {1} ⊆ {∅, 1}, {1} ⊆ {∅, 1, {∅, 1}}, а также {1} ⊆ {{∅, {1}}, {1}, 1, ∅}.
3. {1} является элементом множеств {{1}} и {∅, {1}}.
4. ∅ является элементом множеств {∅}, {∅, 1}, {∅, {1}}, {∅, 1, {∅, 1}} и {{∅, {1}}, {1}, 1, ∅}.
5. {∅} является подмножеством множеств {∅, 1}, {∅, {1}} и {∅, 1, {∅, 1}}, поскольку каждое из них содержит элемент ∅.
6. {∅, 1} является подмножеством множества {∅, 1, {∅, 1}}.
7. {∅, 1} является элементом множества {∅, 1, {∅, 1}}.
8. {{1}} является подмножеством множества {{∅, {1}}, {1}, 1, ∅} не является, так как элемент {{1}} в нём отсутствует.
9. {∅, {1}} является элементом множества {{∅, {1}}, {1}, 1, ∅}.
10. {1} является подмножеством множества {{∅, {1}}, {1}, 1, ∅}, поскольку это множество содержит 1.

Ответ: все перечисленные отношения указаны выше; остальные пары не связаны отношениями «является элементом» или «является подмножеством».