Задача 102. Дано множество A = {a₁, a₂, a₃, …, a₉}, где все aᵢ различны, и множество B = {a₁, a₂, a₃, …, a₆}. Выпишите все такие множества P, что B ⊂ P ⊂ A.

Множество \(P\) должно содержать все элементы множества \(B\), но не совпадать с \(B\) и не совпадать с \(A\).

В множество \(B\) входят \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\). Из элементов \(A\), не входящих в \(B\), остаются \(a_7,a_8,a_9\). Поэтому к \(B\) нужно добавить непустое собственное подмножество множества \(\{a_7,a_8,a_9\}\).

Получаем:

\(P_1=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\}\);
\(P_2=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_8\}\);
\(P_3=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_9\}\);
\(P_4=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8\}\);
\(P_5=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_9\}\);
\(P_6=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_8,a_9\}\).

Всего \(2^3-2=6\) множеств: исключаются пустое добавление, дающее \(B\), и добавление всех трёх элементов, дающее \(A\).

Ответ: 6 множеств: \(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6\), перечисленные выше.