Задача №11. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17см. Найдите стороны этого треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного тупоугольного треугольника равны \(a\), \(a\) и \(b\). Периметр треугольника равен \( P = 2a + b \). По условию, \( P = 77 \) см.

Также по условию, одна из сторон больше другой на 17 см.

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Боковая сторона больше основания на 17 см.
   \( a = b + 17 \).
   Подставим в формулу периметра: \( 2(b + 17) + b = 77 \)
   \( 2b + 34 + b = 77 \)
   \( 3b = 77 - 34 \)
   \( 3b = 43 \)
   \( b = \frac{43}{3} \) см.
   Тогда \( a = \frac{43}{3} + 17 = \frac{43 + 51}{3} = \frac{94}{3} \) см.
   Стороны: \( \frac{94}{3} \) см, \( \frac{94}{3} \) см, \( \frac{43}{3} \) см.
2. Случай 2: Основание больше боковой стороны на 17 см.
   \( b = a + 17 \).
   Подставим в формулу периметра: \( 2a + (a + 17) = 77 \)
   \( 3a + 17 = 77 \)
   \( 3a = 77 - 17 \)
   \( 3a = 60 \)
   \( a = 20 \) см.
   Тогда \( b = 20 + 17 = 37 \) см.
   Стороны: 20 см, 20 см, 37 см.

Теперь проверим, какой из этих треугольников является тупоугольным.

Для случая 1: Стороны \( \frac{94}{3} \approx 31.33 \) см, \( \frac{94}{3} \approx 31.33 \) см, \( \frac{43}{3} \approx 14.33 \) см. Наибольшая сторона \( a \). Проверим теорему косинусов (для угла напротив большей стороны): \( a^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(γ) \). Если \( γ \) - тупой угол, то \( \cos(γ) < 0 \), и \( a^2 > b^2 + a^2 \), что невозможно.

В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине (угол между равными сторонами). Тогда наибольшей стороной будет основание \( b \). Но в этом случае \( b < a \), что противоречит предположению.

Для случая 2: Стороны 20 см, 20 см, 37 см. Наибольшая сторона \( b = 37 \) см. Проверим, является ли угол напротив неё тупым. Для этого сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: \( b^2 \) и \( a^2 + a^2 \).
\( 37^2 = 1369 \)
\( 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800 \)
Так как \( 1369 > 800 \), то угол, лежащий напротив стороны длиной 37 см, является тупым. Следовательно, этот треугольник тупоугольный.

Ответ: стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 37 см.