Задача 12.15. Найдите точку максимума функции \(y=(x+8)^2\cdot e^{3-x}\).

Найдём производную:

\[y'=2(x+8)e^{3-x}-(x+8)^2e^{3-x}\]

Вынесем общий множитель:

\[y'=e^{3-x}(x+8)(-x-6).\]

Так как \(e^{3-x}>0\), критические точки: \(x=-8\) и \(x=-6\). При переходе через \(x=-6\) производная меняет знак с «+» на «−», поэтому в этой точке функция достигает максимума.

Ответ: \(x=-6\).