Задача 12.5. Найдите точку минимума функции \(y=x\sqrt{x}-3x+17\).

Область определения: \(x\ge 0\). Запишем \(x\sqrt{x}=x^{3/2}\).

Найдём производную: \(y'=\frac{3}{2}\sqrt{x}-3\). Приравняем её к нулю: \(\frac{3}{2}\sqrt{x}-3=0\), откуда \(\sqrt{x}=2\) и \(x=4\).

При \(0\le x<4\) производная отрицательна, а при \(x>4\) положительна. Следовательно, в точке \(x=4\) функция достигает минимума.

Ответ: 4.