Задача 12.7. Найдите точку минимума функции y = x/(x² + 256).

Область определения: все действительные числа.

Производная функции:

\(y' = \frac{(x^2+256)-2x^2}{(x^2+256)^2}=\frac{256-x^2}{(x^2+256)^2}\).

Критические точки определяются из уравнения \(256-x^2=0\):

\(x=-16\) и \(x=16\).

При \(x=-16\) производная меняет знак с «−» на «+», поэтому это точка минимума.

Значение функции:

\(y(-16)=\frac{-16}{(-16)^2+256}=\frac{-16}{512}=-\frac{1}{32}\).

Ответ: \(x=-16\); точка минимума \((-16; -\frac{1}{32})\).