Задача 12.8. Найдите точку минимума функции y = x² − 28x + 96 · ln x + 31.

Область определения: \(x>0\).

Найдём производную:

\(y'=2x-28+\frac{96}{x}=\frac{2x^2-28x+96}{x}=\frac{2(x-6)(x-8)}{x}\).

Критические точки: \(x=6\) и \(x=8\).

Так как \(x>0\), знак производной меняется следующим образом: на интервале \((0;6)\) производная положительна, на \((6;8)\) отрицательна, на \((8;+\infty)\) положительна.

Следовательно, при \(x=8\) функция переходит от убывания к возрастанию, поэтому имеет минимум.

Ответ: \(x=8\).