Задача 12. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть ABCD — трапеция, причём \(AB\parallel CD\), а основания имеют длины \(AB=a\) и \(CD=b\). Обозначим через M середину диагонали AC, а через N — середину диагонали BD.

1. Введём координаты: \(A(0;0)\), \(B(a;0)\), \(D(u;h)\), \(C(u+b;h)\). Тогда основания AB и CD горизонтальны, то есть параллельны.
2. Координаты середины диагонали AC: \(M\left(\frac{u+b}{2};\frac h2\right)\).
3. Координаты середины диагонали BD: \(N\left(\frac{a+u}{2};\frac h2\right)\).
4. У точек M и N одинаковые вторые координаты \(\frac h2\). Следовательно, отрезок MN параллелен основаниям AB и CD.
5. Его длина равна разности первых координат: \(MN=\left|\frac{u+b}{2}-\frac{a+u}{2}\right|=\frac{|b-a|}{2}\).

Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.