Задача 140 Архипелаг Числовой состоит из 9 островов, у которых вместо названий номера от 1 до 9. Между двумя островами есть паромная переправа тогда и только тогда, когда сумма номеров этих островов делится на 3. Можно ли перебраться на паромах с острова 3 на остров 4? Указание. Постройте граф. Вершины-острова соедините рёбрами-переправами.

Разбор задачи:

Нам нужно выяснить, можно ли добраться с острова 3 на остров 4. Условие переправы между двумя островами: сумма их номеров должна делиться на 3.

Острова: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Условие переправы: Сумма номеров островов делится на 3.

Проверяем прямую переправу с острова 3 на остров 4:

Сумма номеров островов 3 и 4 равна 3 + 4 = 7.

Число 7 не делится на 3 без остатка.

Вывод: Прямой переправы с острова 3 на остров 4 нет.

Строим граф для проверки возможности косвенного пути:

Острова, номера которых делятся на 3:

• 3
• 6
• 9

Острова, номера которых дают остаток 1 при делении на 3:

• 1
• 4
• 7

Острова, номера которых дают остаток 2 при делении на 3:

• 2
• 5
• 8

Теперь проверим, есть ли путь с острова 3 на остров 4 через другие острова.

Пути с острова 3:

• 3 + 1 = 4 (нет, 4 не делится на 3)
• 3 + 2 = 5 (нет, 5 не делится на 3)
• 3 + 3 = 6 (да, 6 делится на 3) - переправа на остров 6
• 3 + 4 = 7 (нет)
• 3 + 5 = 8 (нет)
• 3 + 6 = 9 (да, 9 делится на 3) - переправа на остров 9
• 3 + 7 = 10 (нет)
• 3 + 8 = 11 (нет)
• 3 + 9 = 12 (да, 12 делится на 3) - переправа на остров 9

Итак, с острова 3 можно попасть на острова 6 и 9.

Теперь проверим, можно ли с островов 6 или 9 попасть на остров 4.

С острова 6:

• 6 + 1 = 7 (нет)
• 6 + 2 = 8 (нет)
• 6 + 3 = 9 (да, 9 делится на 3) - переправа на остров 3
• 6 + 4 = 10 (нет)
• 6 + 5 = 11 (нет)
• 6 + 6 = 12 (да, 12 делится на 3) - переправа на остров 6 (сам с собой)
• 6 + 7 = 13 (нет)
• 6 + 8 = 14 (нет)
• 6 + 9 = 15 (да, 15 делится на 3) - переправа на остров 9

С острова 9:

• 9 + 1 = 10 (нет)
• 9 + 2 = 11 (нет)
• 9 + 3 = 12 (да, 12 делится на 3) - переправа на остров 3
• 9 + 4 = 13 (нет)
• 9 + 5 = 14 (нет)
• 9 + 6 = 15 (да, 15 делится на 3) - переправа на остров 6
• 9 + 7 = 16 (нет)
• 9 + 8 = 17 (нет)
• 9 + 9 = 18 (да, 18 делится на 3) - переправа на остров 9 (сам с собой)

К сожалению, даже через острова 6 и 9 мы не можем попасть на остров 4, так как сумма номеров (6+4=10, 9+4=13) не делится на 3.

Обобщение:

Острова, номера которых делятся на 3 (группа 0): 3, 6, 9.

Острова, номера которых дают остаток 1 при делении на 3 (группа 1): 1, 4, 7.

Острова, номера которых дают остаток 2 при делении на 3 (группа 2): 2, 5, 8.

Переправа возможна между островами, если сумма их номеров делится на 3. Это означает, что:

• Остров из группы 0 может перейти на другой остров из группы 0 (например, 3+6=9).
• Остров из группы 1 может перейти на остров из группы 2 (например, 1+2=3).
• Остров из группы 2 может перейти на остров из группы 1 (например, 2+1=3).

Нам нужно попасть с острова 3 (группа 0) на остров 4 (группа 1).

С острова 3 (группа 0) мы можем попасть на:

• Остров 6 (группа 0), так как 3+6=9 (делится на 3).
• Остров 9 (группа 0), так как 3+9=12 (делится на 3).

С острова 6 (группа 0) мы можем попасть на:

• Остров 3 (группа 0), так как 6+3=9.
• Остров 6 (группа 0), так как 6+6=12.
• Остров 9 (группа 0), так как 6+9=15.

С острова 9 (группа 0) мы можем попасть на:

• Остров 3 (группа 0), так как 9+3=12.
• Остров 6 (группа 0), так как 9+6=15.
• Остров 9 (группа 0), так как 9+9=18.

Видим, что из группы 0 мы можем перемещаться только внутри группы 0.

Остров 4 находится в группе 1.

Чтобы попасть из группы 0 в группу 1, нам нужно, чтобы сумма номеров делилась на 3. Это возможно, если:

• Остров из группы 0 + Остров из группы 1 = сумма, делящаяся на 3.
• (0 + 1) mod 3 = 1. Нам нужно, чтобы остаток был 0.

Другими словами, переправа возможна только между:

• Островами одной группы (0+0=0 mod 3, 1+? = 0 mod 3 - невозможно, 2+? = 0 mod 3 - невозможно).
• Островами из группы 1 и группы 2 (1+2=3, 0 mod 3).

Следовательно, с острова 3 (группа 0) невозможно попасть на остров 4 (группа 1).

Ответ: Нет.