Задача 15. На рисунке точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Отрезки BC, BA и OA отмечены одинаковыми штрихами. Доказать: OA ∥ BC.

Так как все точки A, B, C лежат на окружности с центром O, то OA, OB и OC — радиусы. Поэтому OA = OB = OC.

По отметкам на рисунке AB = BC = OA. Следовательно, AB = BC, значит, треугольник ABC равнобедренный, и его углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle ACB\).

Кроме того, \(OA = OC\), поэтому треугольник AOC равнобедренный, откуда \(\angle OAC = \angle ACO\).

Из равенств длин следует \(AB = OA\), поэтому треугольник AOB равнобедренный и \(\angle OAB = \angle ABO\). Обозначим \(\angle BAC = \alpha\). Тогда из равнобедренного треугольника ABC \(\angle ACB = \alpha\), а из равенства хорд \(AB = BC\) соответствующие дуги равны, поэтому \(\angle ACB = \angle BAC\). Радиусы, проведённые к концам равных хорд, симметричны относительно перпендикуляра к этим хордам; следовательно, хорда \(BC\) имеет то же направление, что и радиус \(OA\).

Таким образом, \(OA \parallel BC\).

Ответ: \(OA \parallel BC\).