Задача 15. По рисунку: BДМА — квадрат, BC = MR = 1 см, точки C, D, R лежат на одной прямой. Найти: AM.

Обозначим сторону квадрата через x. Тогда AM = BD = AB = DM = x.

Поскольку BC = MR = 1 см, получаем AC = x + 1 см и AR = x + 1 см.

Треугольники CBD и DMR прямоугольные и имеют равные острые углы: их катеты соответственно параллельны. Поэтому они подобны. Из равенства BC = MR следует равенство соответствующих катетов BD = DM, то есть x = x. Чтобы найти сторону, используем коллинеарность C, D, R: прямоугольный треугольник CAR имеет катеты AC = AR, значит он равнобедренный, и его гипотенуза CR образует с катетами углы по 45°. В квадрате BDMA диагональ от C к R проходит через D; при равных горизонтальном и вертикальном приращениях от D до R и от D до C имеем MR = BC. С учетом BC = MR = 1 см это условие само по себе не задает сторону квадрата.

Следовательно, по изображению и указанным данным величину AM однозначно определить нельзя: условие BC = MR = 1 см совместимо с квадратом любой стороны. Например, при стороне x точки C=(0,x+1), D=(x,x), R=(x+1,0) лежат на одной прямой только если x=1; однако это координатное условие показывает, что прямая через C и R при такой разметке не проходит через D для общего x. Из коллинеарности получаем: x+1−x=x, откуда x=1.

Ответ: AM = 1 см.