Задача 16. ABCD — ромб; ∠1 : ∠2 = 2 : 1; BR = 3 см. Найти: ∠A; P_ABCD.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Поэтому в прямоугольном треугольнике BRC углы при B и C равны соответственно ∠1 и ∠2.

Так как ∠1 : ∠2 = 2 : 1, а их сумма равна 90°, получаем ∠1 = 60°, ∠2 = 30°.

Диагональ BD делит угол B пополам, поэтому ∠B = 2 · 60° = 120°. Соседние углы ромба supplementary, значит ∠A = 180° − 120° = 60°.

В прямоугольном треугольнике BRC сторона BR = 3 см лежит напротив угла 30°. В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 30° равна половине гипотенузы, поэтому BC = 6 см. Все стороны ромба равны, следовательно, P_ABCD = 4 · 6 = 24 см.

Ответ: ∠A = 60°; P_ABCD = 24 см.