Задача 16 из 18. Свойства параллелограмма. Дано: ABCD - параллелограмм; AK - биссектриса \(\angle\) A; BK: KC = 2:1; P_{ABCD} = 50 см. Найти: AB

Решение:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и AD || BC. Также известно, что AB = DC и AD = BC.

2. AK — биссектриса \(\angle\) A. По свойству биссектрисы, \(\angle\) BAK = \(\angle\) KAD.

3. Поскольку AD || BC, то \(\angle\) KAD = \(\angle\) AKB как накрест лежащие углы при секущей AK. Следовательно, \(\angle\) BAK = \(\angle\) AKB.

4. Треугольник ABK равнобедренный, так как \(\angle\) BAK = \(\angle\) AKB. Отсюда следует, что AB = BK.

5. По условию, BK:KC = 2:1. Это значит, что BC = BK + KC = 2x + 1x = 3x, где x — некоторая длина.

6. Поскольку ABCD — параллелограмм, AD = BC. Следовательно, AD = 3x. Также AB = BK = 2x.

7. Периметр параллелограмма ABCD равен \( P_{ABCD} = 2(AB + BC) \). По условию, \( P_{ABCD} = 50 \) см.

8. Подставим найденные значения сторон в формулу периметра: \( 2(2x + 3x) = 50 \).

9. Решим уравнение: \( 2(5x) = 50 \) \( 10x = 50 \) \( x = 5 \) см.

10. Теперь найдем длину стороны AB: \( AB = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \) см.

Ответ: AB = 10 см.