Задача 18. Рис. 5.82. Сравнить: ∠ABC и ∠ADC. (Ответ: ∠ABC < ∠ADC.)

Решение:

На рисунке 5.82 изображен треугольник ABC, в котором проведена хорда AD. Точка D лежит на стороне BC.

Нам нужно сравнить \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \).

Рассмотрим \( \triangle ADC \). Угол \( \angle ADC \) является внешним углом треугольника ABD.

В треугольнике ABD, \( \angle ADC \) - внешний угол при вершине D.

По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Следовательно, \( \angle ADC = \angle ABC + \angle BAD \).

Так как \( \angle BAD \) является углом треугольника, его величина положительна (больше 0).

Следовательно, \( \angle ADC \) больше, чем \( \angle ABC \).

\( \angle ADC = \angle ABC + \angle BAD \)

\( \angle ADC > \angle ABC \).

Таким образом, \( \angle ABC < \angle ADC \).

Ответ: \( \angle ABC < \angle ADC \).