Задача 1 Найдите точку максимума функции y = (x + 7)•e^7-x.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = (x + 7) \cdot e^{7-x} \) необходимо найти первую производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции, используя правило умножения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x + 7 \) и \( v = e^{7-x} \).
2. Производная \( u' \) от \( x + 7 \) равна 1.
3. Производная \( v' \) от \( e^{7-x} \) равна \( e^{7-x} \) умноженное на производную показателя \( 7-x \), которая равна -1. Таким образом, \( v' = -e^{7-x} \).
4. Подставляем в формулу производной:

\[ y' = (1 \cdot e^{7-x}) + ((x + 7) \cdot (-e^{7-x})) \]

\[ y' = e^{7-x} - (x + 7)e^{7-x} \]

\[ y' = e^{7-x}(1 - (x + 7)) \]

\[ y' = e^{7-x}(1 - x - 7) \]

\[ y' = e^{7-x}(-x - 6) \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^{7-x}(-x - 6) = 0 \]

Поскольку \( e^{7-x} \) всегда больше нуля, то для выполнения равенства необходимо, чтобы \( -x - 6 = 0 \).

\[ -x = 6 \]

\[ x = -6 \]

3. Чтобы определить, является ли найденная точка точкой максимума, проверим знак производной слева и справа от \( x = -6 \).
4. Возьмем точку \( x = -7 \) (слева от -6):

\[ y'(-7) = e^{7-(-7)}(-(-7) - 6) = e^{14}(7 - 6) = e^{14}(1) > 0 \]

Производная положительна, значит, функция возрастает.

4. Возьмем точку \( x = -5 \) (справа от -6):

\[ y'(-5) = e^{7-(-5)}(-(-5) - 6) = e^{12}(5 - 6) = e^{12}(-1) < 0 \]

Производная отрицательна, значит, функция убывает.

Так как производная меняет знак с плюса на минус в точке \( x = -6 \), то это точка максимума.

Ответ: точка максимума функции находится при x = -6.