Задача 2.1. Угол между векторами. Даны точки A(1; 0; 1), B(−1; 2; 2) и C(0; 2; 0). Найдите косинус угла BAC (угол между векторами AB и AC).

Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-1;\,2-0;\,2-1)=(-2;2;1)\).

\(\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1;\,2-0;\,0-1)=(-1;2;-1)\).

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)(-1)+2\cdot2+1\cdot(-1)=5\).

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}=3\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt6\).

По формуле скалярного произведения:

\(\cos\angle BAC=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{5}{3\sqrt6}=\dfrac{5\sqrt6}{18}\).

Ответ: \(\cos\angle BAC=\dfrac{5}{3\sqrt6}\).